RSS

Опубликовано вПошаговые стратегии | 27.07.2017

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков. Каждой паре стратегий i,j поставлено в соответствие число а i j , выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i- ю стратегию, а 2 — свою j -ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: Число , определённое по формуле 1 называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается. Число , определяемое по формуле 2 , называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1. Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем.

В это понятие вложен следующий смысл: Математически это можно записать и иначе:. Таким образом, исходя из 3 , седловой элемент является минимальным в i о -й строке и максимальным в j о -м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий i о ,j о игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом i о и j о называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.

Пример решения задачи теории игр в чистых стратегиях нашим сервисом:

Из анализа матрицы выигрышей видно, что , то есть данная матрица не имеет седловой точки. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т. Из анализа дополнительных столбца и строки получаем: Возьмем пару минимаксных стратегий: Если оба держатся этих стратегий, то выигрыш будет равен 5.

Теперь, допустим, мы узнали о поведении противника. Мы по-прежнему будем держаться стратегии К 2 , потому что любое отступление от нее нам невыгодно. Знаем мы или не знаем о поведении противника — все равно будем держаться стратегии К 2! В данном примере пара стратегий К 2 и С 3 устойчива, т. Потому что в матрице имеется особый элемент 5; он является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце.

Теория игр. Лекция 2. Решение матричной игры в чистых стратегиях

Такой элемент называется седловой точкой. Если матрица имеет седловую точку т. Сама же седловая точка дает цену игры — в нашем примере она равна 5. Класс игр, имеющих седловую точку, имеет большое значение в теории игр. В частности, доказано, что если по правилам игры каждый из игроков знает результат всех предыдущих ходов, как своих, так и противника так называемая игра с полной информацией , то игра имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях. Примерами игр с полной информацией могут служить: Приведем пример игры с полной информацией, решение которой легко найти.

Матричные игры в чистых стратегиях

Два игрока — К и С — поочередно кладут одинаковые монеты на круглый стол. Положение каждой монеты выбирается произвольно, лишь бы она не перекрывалась другими. Выигрывает тот из игроков, который положит монету последним когда места для других уже не остается. Стоит немножко подумать, чтобы убедиться, что исход этой игры всегда предрешен и что существует вполне определенная стратегия, гарантирующая выигрыш тому из игроков, который кладет монету первым пусть это будет К.

А именно К должен положить первую монету в центр стола, а далее на каждый ход С отвечать в точности симметричным относительно центра стола ходом! Бедный С может при этом вести себя как угодно, спасения ему все равно нет Очевидно, такая игра имеет смысл только для тех, кто не знает решения. Любопытно, что совершенно так же обстоит дело и с такой популярной игрой, как шахматы!

Эта игра имеет смысл только до тех пор, пока не найдено ее решение.

Матричные игры в чистых стратегиях

Теоретически доказано, что решение существует и исход шахматной игры в сущности предрешен: Мы пока этого не знаем, так как число возможных стратегий слишком велико, чтобы можно было построить матрицу шахматной игры и найти в ней седловую точку Наверное, любители шахмат заинтересованы в том, чтобы шахматная игра была решена еще не скоро. Заметим в заключение, что седловых точек в матрице может быть не одна, а несколько; тог да решений игры в чистых стратегиях существует столько, сколько имеется седловых точек.

Каждое из них дает выигрыш, равный цене игры. Главная Случайная страница Контакты Заказать. Математически это можно записать и иначе: Пример 2 Из анализа матрицы выигрышей видно, что , то есть данная матрица не имеет седловой точки.

Copyright © 2017 Мир игр. All rights reserved. Powered by 1rage.ru.